Tính ma trận nabla bằng phương pháp gradient descent

Hieu_Pham · August 11, 2021, 4:46am

hiện mình có 1 đồ án về tính toán bằng phương pháp gradient descent đối với ma trận, có 1 phần như hình trên theo mình nghĩ thì phải tính nabla 1 ui,j là ma trận sinh ra theo hàng dọc còn nabla 2 ui,j là ma trận sinh ra theo hàng ngang nhưng đến đoạn tính nabla ui,j như hình thì mình không hiểu là dấu ngoặc đó là yêu cầu gì đối với 2 ma trận, mình có hỏi thầy phụ trách nhưng thầy chỉ giải thích cái vế sau mà mình đã biết, mình cũng có đọc sách tham khảo và tra google nhưng không có phần đó. Mọi người giúp mình với ạ.

hungaya · October 3, 2020, 1:23pm

Viết lại như vậy thôi nè. Dấu ngoặc là cách viết hàng ngang đỡ tốn giấy thôi, chứ \nabla u_{ij} là vector cột mà.

\nabla u_{ij} = \begin{bmatrix} \nabla_1 u_{ij} \\ \nabla_2 u_{ij} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u_{i+1,j} - u_{ij} \\ u_{i,j+1} - u_{ij} \end{bmatrix}

Hieu_Pham · October 3, 2020, 4:51pm

mình có đọc qua nhưng không hiểu phương pháp này lắm, h ví dụ có ma trận 5x5 như này thì làm sao vậy bạn?

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ & & ... & & \\ & & ... & & \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \end{bmatrix}

hungaya · October 3, 2020, 1:49pm

Là sao? gradient luôn vuông góc với level curve. Vì level curve không thay đổi giá trị hàm số, nên hướng của gradient là hướng hàm tăng nhanh nhất, hướng ngược lại gradient là hướng hàm số giảm nhiều nhất. Phần này thuần Toán học thôi mà.

Hieu_Pham · October 3, 2020, 2:01pm

à mình có đọc lại đề và câu trả lời của bạn nên hiểu thế này ko biết đúng ko, bạn xem thử giúp mình nhé

nếu như hình bên thì mỗi lần ta tính div() của 1 phần tử thứ uij của ma trận u thì |∇uij
sẽ là độ dài vector tương ứng tính theo công thức bạn ghi phải không?

hungaya · October 3, 2020, 3:09pm

Cho vậy sao hiểu được
Cái gradient là vector của 1 hàm số, bạn đưa các kí hiệu u, f mà không biết nó từ đâu ra thì sao mà biết được.

Tư tưởng chính của gradient descent là dựa vào gradient vector, với tính chất luôn chỉ hướng tăng/giảm nhanh nhất, để tìm cực trị địa phương với số lần lặp tối thiểu.

Riêng cái này mình không biết miền xác định hàm số của bạn là gì. Miền đó gắn với metric funtion nào. Nên trả lời cũng không được luôn. Tuy nhiên, nếu chỉ giới hạn không gian \mathbb{R}^n, thì metric function thường là Euclidean distance d(x,y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n}{(x_i - y_i)^2}}. Từ đó sinh ra normed space \mathbb{R}^n tương ứng với norm function ||x|| = d(0,x).