Về việc tính giới hạn

[dovanvai2911 (Vanvai)]

[rogp10]

Đặt x làm nhân tử chung rồi đổi biến xem sao.

[Gio (Gió)]

\lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} (x+i)} - x \\ = \lim_{x \to \infty} x * (\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} (1+i/x)} - 1) \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} (1+i/x)} - 1}{1/x} \\ \text{doi bien t = 1/x} \\ = \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} (1+i.t)} - 1}{t} \\ \text{L Hopital 0/0} \\ = \lim_{t \to 0} \frac{ {{\prod_{i=1}^{n} (1+i.t)}}'} {n * \sqrt[n]{{\prod_{i=1}^{n} (1+i.t)}^{n-1}}}\\ = \lim_{t \to 0} \frac{ {{\prod_{i=1}^{n} (1+i.t)}}'} {n}\\ = \frac{\sum_{i=1}^{n}{i}}{n} \\ = \frac{n*(n+1)/2}{n} \\ = \frac{n+1}{2}\\