Tính tích phân xác định

[dovanvai2911 (Vanvai)]

\text{(g)} \quad \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cot x \: dx.

[hungaya (Hung)]

Ban đầu, ta chứng minh tích phân

J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \: dx = - \frac{\pi}{2} \ln 2.

Bằng phương pháp đổi biến u = \frac{\pi}{2} - x, và du = -dx, tích phân J được biến đổi thành

\begin{aligned} J &= \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \ln \left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - u\right)\right) \: (-du) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\sin \left(\frac{\pi}{2} - u\right)\right) \: du \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos u) \: du = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) \: dx. \end{aligned}

Khi đó

\begin{aligned} 2J &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \: dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x) \: dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} ( \ln (\sin x) + \ln (\cos x)) \: dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x \cdot \cos x) \: dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{\sin 2x}{2}\right) \: dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin 2x) \: dx - \ln 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin 2x) \: dx - \frac{\pi}{2} \ln 2. \end{aligned}

Thực hiện đổi biến u = 2x, ta được du = 2\cdot dx và

\begin{aligned} 2J &= \int_0^{\pi} \ln (\sin u) \frac{du}{2} - \frac{\pi}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \ln (\sin u)\:du - \frac{\pi}{2} \ln 2 \\ &= \frac{1}{2} \left(\int_0^{{\frac{\pi}{2}}} \ln (\sin u)\:du + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin u)\:du\right) - \frac{\pi}{2} \ln 2 \\ &= \frac{1}{2} \left(J + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin x)\:dx\right) - \frac{\pi}{2} \ln 2. \end{aligned}

Với tích phân \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin x)\:dx, ta thực hiện phép đổi biến u = x - \frac{\pi}{2}. Khi đó d u = dx và

\begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln (\sin x)\:dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\sin \left(u + \frac{\pi}{2}\right)\right) du = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln (\cos u)\:du, \end{aligned}

trong đó

\sin \left(u + \frac{\pi}{2}\right) = - \sin \left(u - \frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} - u\right) = \cos u.

Khi đó

\begin{aligned} 2J &= \frac{1}{2} \left(J +\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos x)\:dx\right) - \frac{\pi}{2} \ln 2 \\ &= \frac{1}{2}(J + J) - \frac{\pi}{2} \ln 2 = J - \frac{\pi}{2} \ln 2, \end{aligned}

suy ra

J = - \frac{\pi}{2} \ln 2.

---

Ta tính toán tích phân ban đầu

I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} x \cdot \cot x \: dx.

Thực hiện tích phân từng phần trên I với

u = x \quad \text{và} \quad dv = \cot x \: dx,

từ đó suy ra

du = dx \quad \text{và} \quad v = \ln(\sin x).

Khi đó tích phân I được biến đổi thành

\begin{aligned} I &= \left. x \cdot \ln(\sin x) \right|_{x \to 0}^{x = \frac{\pi}{2}} - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \: dx \\ &= \left(0 - \lim_{x \to 0^+} (x \cdot \ln(\sin x))\right) + \frac{\pi}{2} \ln 2 \\ &= \left(0 - 0\right) + \frac{\pi}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{2} \ln 2, \end{aligned}

trong đó

\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} (x \cdot \ln(\sin x)) &= \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x}{\sin x} \cdot \sin x\cdot \ln(\sin x)\right) \\ &= \left(\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sin x}\right) \cdot \lim_{x \to 0^+} \left(\sin x\cdot \ln(\sin x)\right) \\ &= 1 \cdot \lim_{y \to 0^+} (y \cdot \ln y) = \lim_{y \to 0^+} \frac{\ln y}{1/y} \\ &= \lim_{y \to 0^+} \frac{1/y}{-1/y^2} = -\lim_{y \to 0^+} y = 0. \end{aligned}