[Series Phương Pháp Tính] Số gần đúng và sai số

thanhtrung2314 · March 16, 2020, 5:01am

Phần O. Giới thiệu

Chào các bạn
Khá rảnh sau khi thi xong và cũng muốn đổi gió giữa những bài post về lập trình nên mình muốn giới thiệu với các bạn tới chuỗi bài viết về Phương Pháp Tính (Computing Methods). Môn này là một trong những môn mà kì vừa rồi mình được học, và nhìn chung mình khá thích môn này.

Môn này thì nhìn chung là nghiên cứu để tìm ra nghiệm gần đúng của những bài toán mà ta rất khó thậm chí không thể giải chính xác. Nó giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Nôm na là khi học toán ở trung học, ta có biểu thức rồi tính kết quả. Còn giờ ta có số liệu rồi đi tính kết quả.

Chuỗi bài viết này sẽ gồm các phần chính sau đây (mình không chắc sẽ có bao nhiêu bài, vì phần dài phần ngắn)

Phần I. Số gần đúng và sai số
Phần II. Phương trình phi tuyến
Phần II. Hệ phương trình tuyến tính
Phần IV. Nội suy và xấp xỉ hàm
Phần V. Đạo hàm và tích phân
Phần VI. Phương trình vi phân thường

Làm tròn số
Ở trường mình học thì bài thi buộc phải ghi đáp số tới chữ số thập phân thứ 4, và phải đảm bảo sai số nhỏ hơn 10^(-4). Cụ thể là như thế này

Đáp án: 1.2345
Được toàn bộ điểm: 1.2345
Được một nữa số điểm: 1.2346 hoặc 1.2344
Không được điểm nào: Những đáp án khác

Việc làm tròn số rất quan trọng, có 3 kiểu làm tròn chính là xuống, lên, và bình thường.
Làm tròn kiểu bình thường thì ta đã được biết từ hồi học lớp 7 là trễ nhất (vì toán đại số 7 có dạy phần này). Nôm na sẽ là >= 5 thì lên, < 5 thì xuống.
Ví dụ

1.238 -> 1.24
1.235 -> 1.24
1.234 -> 1.23

Còn làm tròn xuống, được sử dụng khi làm tròn bất đẳng thức. Với (<= hoặc <) thì làm tròn lên, (>= hoặc >) thì làm tròn xuống
Ví dụ

a <= 1.236 -> a <= 1.24
a <= 1.234 -> a <= 1.24

a >= 1.236 -> a >= 1.23
a >= 1.234 -> a >= 1.23

Cách làm tròn như vậy sẽ giúp ta không mất nghiệm. Còn tại sao không mất nghiệm thì mình sẽ để các bạn tự ngẫm nghĩ

Phần I. Số gần đúng và sai số

1. Những khái niệm cơ bản

Khi nhắc đến những bài toán thực tế, chúng ta luôn biết rằng rất khó để đảm bảo số liệu mà chúng ta làm việc là hoàn toàn chính xác vì rất nhiều lí do ảnh hưởng như dụng cụ, cách thức đo đạc,… . Vì thế nên khái niệm sai số được ra đời

Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số.

Số a được gọi là số gần đúng (approximate number) của số chính xác A, kí hiệu a ≈A (đọc là a xấp xỉ A) nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay cho A trong tính toán.

Đại lượng Δ = |a - A| được gọi là sai số thật sự của số gần đúng a. Trong thực tế, do không biết số chính xác A, ta ước lượng một đại lượng Δ_a càng bé càng tốt thỏa điều kiện |A - a| <= Δ_a được gọi là sai số tuyệt đối (absolute error) của số gần đúng a

Những sai số thường là chúng ta không thể nào tính chính xác được, ta chỉ có thể lấy càng gần càng tốt nên thường ta sẽ thấy biểu thức
sai_số thực sự <= sai_số_tính_toán
Vậy nên khi làm tròn sai số ta làm tròn lên
và để cho đơn giản, từ giờ trở đi mình sẽ coi nó là đẳng thức luôn (nhưng khi làm tròn vẫn làm tròn lên)

Trong thực tế thì người ta sẽ kí hiệu

Ví dụ:
Giả sử A = π; a = 3.14. Do
3.13 = 3.14 - 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15
Nên ta có thể chọn Δ_a = 0.01
Mặt khác
3.138 = 3.14 - 0.002 < π < 3.14 + 0.002 = 3.142
Do đó ta cũng có thể chọn Δ_a = 0.002
Như vậy, với cùng một giá trị gần đúng, có thể có nhiều sai số tuyệt đối khác nhau

Sai số tương đối (relative error) của một số gần đúng a (a khác 0) so với số chính xác A được tính theo công thức

Ví dụ:
Đo độ dài đoạn thẳng ta được a = 10 cm và b = 1 cm với Δ_a = Δ_b = 0.01 cm. Khi đó

Hay

Từ đó suy ra phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù sai số tuyệt đối bằng nhau. Như vậy, độ chính xác của một phép đo thể hiện qua sai số tương đối.

2. Biểu diễn số thập phân

Mọi số thực a có thể được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn

Ví dụ:

Gọi ã là số làm tròn của số gần đúng a. Sai số tuyệt đối của ã với A được đánh giá như sau

Ở trên sử dụng bất đẳng thức tam giác
Vậy nên khi làm tròn số, thì sai số tăng lên.Vì vậy, khi tính toán tránh làm tròn các phép tính trung gian, chỉ nên làm tròn kết quả cuối cùng.

Chữ số alpha_k (với k là số nguyên) trong phép biểu diễn dưới dạng thập phân được gọi là đáng tin nếu 2Δ_a <= 10^k. Trong trường hợp ngược lại, alpha_k gọi là không đáng tin
Ví dụ:
Số gần đúng a = 3.7284 với sai số tuyệt đối là Δ_a = 0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7, 2.

Dòng thứ 3 là sử dụng làm tròn lên (lưu ý làm tròn lên số âm khác với làm tròn lên số dương, tương tự với làm tròn xuống). Dòng thứ 4 có được là do k là số nguyên

3. Công thức tổng quát của sai số

Xét hàm số u = f(x, y)
x là giá trị gần đúng của số chính xác X. y là giá trị gần đúng của số chính xác Y. u = f(x,y) là giá trị gần đúng của giá trị chính xác U = f(X, Y)
Khi đó sai số tuyệt đối u

Áp dụng công thức vi phân và sử dụng bất đẳng thức tam giác.
Sai số tương đối u sẽ là

Tổng quát ta có cho hàm y = f(x_1, x_2, …, x_n)