Hỏi về ý nghĩa thực tiễn của phép nhân 2 ma trận

Mọi người cho em hỏi vè ý nghĩa thực tiễn của phép nhân 2 ma trận với ạ
Ví dụ như ta có ma trận A x ma trận B = ma trận C
Thì ma trận C có ý nghĩa gì và nó sẽ được áp dụng ở đâu

Ma trận cũng là biểu diễn của phép biến đổi tuyến tính, nên ứng dụng rất bao la và rộng lớn, đặc biệt là xử lí tín hiệu và mật mã.

5 Likes

Nếu trả lời câu hỏi ma trận được áp dụng trực tiếp ở đâu thì khó lắm. Vì ma trận chỉ là một công cụ để mô hình hoá cho khái niệm tương đương. Nếu bạn học Modern Algebra thì dễ nói hơn, cụ thể là vầy:

Cho tập các ma trận vuông khả nghịch trên trường số thực \mathbb{R} hoặc trường số phức \mathbb{C}. Trong tập ma trận đó trang bị toán tử nhân là phép nhân thông thường hai ma trận, thì tập ma trận được trang bị thêm phép toán nhân đó sẽ tạo thành một nhóm (group - khái niệm trong Modern Algebra), gọi là nhóm tuyến tính tổng quát (general linear group), kí hiệu GL(n, \mathbb{F}), với \mathbb{F}\mathbb{R} hoặc \mathbb{C}.

Sau đó từ khái niệm nhóm, người ta xây dựng khái niệm là đẳng cấu (isomorphism) giữa các nhóm với nhau. Đẳng cấu là một quan hệ tương đương, nên chỉ cần nghiên cứu cấu trúc và tính chất của một nhóm trong lớp tương đương thì các nhóm khác trong lớp tương đương cũng có cùng tính chất đó. Vì vậy, người ta quan tâm xây dựng lớp tương đương cho nhóm tuyến tính tổng quát, và cho ra đời một lĩnh vực trong Modern Algebra là Representation Theory. Trong lý thuyết Representation, người ta sẽ định nghĩa một representation (biểu diễn) là một phép đẳng cấu từ nhóm bất kì (có ứng dụng thực tiễn) đến nhóm tuyến tính tổng quát.

Những ứng dụng trong thực tế, người ta tổng quát các vấn đề gặp phải thành một nhóm trừu tượng, đa số sẽ không là nhóm ma trận, nhưng người ta xây dựng được một phép biểu diễn giữa nhóm trừu tượng đó đến nhóm ma trận, chứng tỏ nhóm đó và nhóm ma trận là thuộc cùng lớp tương đương.

Một ví dụ cực kì phổ biến được dạy trong đại số tuyến tính là nhóm các hàm số tuyến tính trong không gian vector hữu hạn chiều \mathbb{R}^n, kí hiệu là L(\mathbb{R}^n). Presentation (biểu diễn) giữa L(\mathbb{R}^n)GL(n, \mathbb{R}) là ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc (standard basis).

4 Likes
83% thành viên diễn đàn không hỏi bài tập, còn bạn thì sao?