Hỏi về việc tính giới hạn

[dovanvai2911 (Vanvai)]

Biết \lim\limits_{x \to \ 0} f(x) = 1, \lim\limits_{x \to \ 0} g(x) = \infty, và \lim\limits_{x \to \ 0} \left(g(x)(f(x)-1)\right) = 2019.

Tính I = \lim\limits_{ x\to \ 0 } (f(x)^{g(x)})

[noname00 (HK boy)]

Áp dụng log trên giới hạn: \lim\limits_{x \to a} \ln f(x) = \ln \lim\limits_{x \to a} f(x).

\begin{aligned} I &= \lim_{x \to 0} f(x)^{g(x)}\\ \Rightarrow \ln I &= \lim_{x \to 0} {\left(g(x) \ln f(x)\right)}\\ \Rightarrow \ln I &= \lim_{x \to 0} g(x) \times \lim_{x \to 0} \ln f(x)\\ \end{aligned}

Khi t \to 1 thì t - 1 \approx \ln t (vô cùng bé).

Đặt t = f(x), khi x \to 0 thì \lim\limits_{x \to 0} \ln f(x) = \lim\limits_{x \to 0} {\left(f(x) - 1\right)}.

\begin{aligned} \Rightarrow \ln I &= \lim_{x \to 0} g(x) \times \lim_{x \to 0} (f(x) - 1)\\ \Rightarrow \ln I &= \underbrace{\lim_{x \to 0} g(x) (f(x) - 1)}_{2019}\\ \Rightarrow I &= e^{2019} \end{aligned}

[dovanvai2911 (Vanvai)]

mình cảm ơn bạn nhiều nhé