Em xin hướng làm bài này với ạ ( dãy điều hòa -T 18 19) , em mới học lớp 9 thôi mong mọi người giúp đỡ ạ, em cảm ơn nhiều ạ
Hỏi hướng làm bài tập dãy số điều hoà
https://planetmath.org/IntegerContraharmonicMeans
https://planetmath.org/integerharmonicmeans
Áp dụng định lí Vi-ét.
5 Likes
chắc duyệt trâu à :V :V có thấy cái dãy này trên oeis đâu bó tay rồi 
edit: ghê vậy n=6^20 luôn 
https://math.stackexchange.com/questions/1346490/harmonic-mean-solution
ơ n lẻ thì sao nhỉ :V :V
hình như n lẻ thì đáp số y như 2n. Ko biết chứng minh 
vậy bài toán quy về nếu n chẵn thì chia 2 cho n, n lẻ thì khỏi cần chia, rồi phân tích thừa số ng tố ra, rồi lấy tích các (2*mũ + 1) là ra đáp án 
ủa chết còn liệt kê ra nữa, bó tay 
n=892371480=2*(2*2*3*5*7*11*13*17*19*23) ra kết quả là 5*3^8 = 32805 liệt kê ra hết vậy phải duyệt trâu à toy chạy trâu trên mạng đếm thôi chưa in ra mà đã hết 6.6s AC gì nổi
ơ dốt thật có cái thừa số nt rồi thì tìm các cặp x*y = k^2 dễ mà 
n lẻ -> tìm các cặp (u,v) của 2n -> in (u/2, v2)
n chẵn -> tìm các cặp (u,v) của n=2k -> in (u, v)
thuật toán tìm các cặp (u,v) của n=2k thì phân tích k thành tsnt rồi tìm tích ab = k^2, từ đó suy ra u,v theo công thức (u-k)(v-k) = k^2 hay u=a+k, v=b+k
ví dụ n=66 thì k=33=3x11, vậy có 9 cặp a,b mà tích ab = k^2 là
1x1089 --> u,v = 34,1122
11x99 --> 44,132
121x9 --> 154,42
3x363 --> 36,396
33x33 --> 66,66
363x3 --> 396,36
9x121 --> 42,154
99x11 --> 132,44
1089x1 --> 1122,34
à k lẻ thì ab phải đều lẻ, suy ra u,v đều chẵn, vậy đúng là n lẻ thì có số điều hòa = 2n rồi :V
2k = 2uv / (u+v) --> k = uv / (u+v) = 2u’2v’ / (2u’ + 2v’) = 2u’v’ / (u’+v’)
5 Likes
. Thí chủ này viết cái lời giải hài hước quá. Dù không hiểu gì :)).
em cảm ơn ạ, nhưng mà em không hiểu =(
dạ cụ thể là áp dụng như thế nào vậy ạ, với ví dụ b=3 thì sao tìm được các cặp số (a,c) và (c,a) như trong bài ạ
toy ko gọi a,b,c mà gọi là n,u,v nha 
Đề cho là n = \frac{2uv}{u+v}, giờ xét n chẵn hay n = 2k với k \in \Z, ta có:
\begin{aligned}
2k &= \frac{2uv}{u+v} \\
k &= \frac{uv}{u+v} \\
k(u+v) &= uv \\
(u-k)(v-k) &= k^2 \hspace{24px}\text{(áp dụng định lí Vi-ét)}
\end{aligned}
hay u-k và v-k là ước của k^2.
Với n lẻ thì ta xét m chẵn m=2n = \frac{2uv}{u+v}. Làm tương tự ở trên ta có (u-n)(v-n) = n^2. Vì n lẻ nên n^2 lẻ nên u-n và v-n là ước của số lẻ nên cũng là số lẻ, vậy u = (u-n) + n là tổng của hai số lẻ, suy ra u là số chẵn. Tương tự v cũng là số chẵn. Vậy đặt u' = u/2, v' = v/2 ta có
\begin{aligned}
2n &= \frac{2 \cdot 2u' \cdot 2v'}{2u'+2v'} \\
n &= \frac{2u'v'}{u'+v'}
\end{aligned}
hay (u', v', n) là dãy số điều hòa. Vậy với n lẻ ta đi tìm (u, v, 2n) rồi chia 2 cho u, v là ra (u', v', n).
Bài toán quy về tìm các cặp ước a, b của k^2 sao cho ab = k^2 thôi
Ví dụ: với n = 3: vì n lẻ nên ta đi tìm các bộ ba (u, v, 6): n = 6 thì k = 3, k^2 = 9. Ta có các cặp ab = 9 là
\begin{aligned}
1 \times 9 = 9, \\
3 \times 3 = 9, \\
9 \times 1 = 9. \\
\end{aligned}
Vậy suy ra các cặp u = a + k, v = b + k là
\begin{aligned}
1+3 &= 4, \quad &9+3 &= 12, \\
3+3 &= 6, \quad &3+3 &= 6, \\
9+3 &= 12, \quad &1+3 &= 4. \\
\end{aligned}
Vậy suy ra các cặp u' = u/2, v' = v/2 là
\begin{aligned}
4/2 &= 2, \quad &12/2 &= 6, \\
6/2 &=3, \quad &6/2 &= 3, \\
12/2 &= 6, \quad &4/2 &= 2.
\end{aligned}
5 Likes
dạ, em cảm ơn nhiều ạ
làm sao để biết khi nhập số b thì có bao nhiêu cặp số a,c tạo thành dãy điều hòa vậy ạ
Phân tích b ra TSNT để tìm số ước của b, suy ra số ước của b^2 (b lẻ) hay \frac{b^2}{4} (b chẵn). Nếu cần thì bạn đọc kĩ chỗ phân tích thành nhân tử.
3 Likes
phân tích b^2 nếu b lẻ hoặc b^2 / 4 nếu b chẵn thành tsnt, thì số ước là tích của các (số mũ + 1).
Ví dụ 9 = 3^2 thì số ước của 9 là (2+1) = 3 ước: 1, 3, 9. Viết 3 ước này lại theo số mũ là 3^0, 3^1, 3^2
Ví dụ 144 = 2^4 * 3^2 thì số ước của 144 là (4+1)*(2+1) = 15 ước: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144. Sắp xếp lại theo số mũ là
1 = 2^0 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
9 = 2^0 * 3^2
2 = 2^1 * 3^0
6 = 2^1 * 3^1
18 = 2^1 * 3^2
4 = 2^2 * 3^0
12 = 2^2 * 3^1
36 = 2^2 * 3^2
8 = 2^3 * 3^0
24 = 2^3 * 3^1
72 = 2^3 * 3^2
16 = 2^4 * 3^0
48 = 2^4 * 3^1
144 = 2^4* 3^2
sinh mấy số này theo kiểu đếm dần dần thôi, ví dụ 2^2 3^4 5^6 thì sinh bộ ba từ (0, 0, 0) tới (2, 4, 6) theo kiểu cộng từ từ:
0 0 0
0 0 1
0 0 2
0 0 3
0 0 4
0 0 5
0 0 6
0 0 7 --> 7 > 6 nên +1 cho số bên trái 7, và cho 7 về 0 thành 0 1 0
0 1 1
0 1 2
…
0 4 6
0 4 7 --> 0 5 0 --> 1 0 0
v.v…
1 Like
mình cảm ơn nhiều ạ 
dạ mình cảm ơn ạ
83% thành viên diễn đàn không hỏi bài tập, còn bạn thì sao?