Đại số trừu tượng: vành

[minh_cuong_le]

Cho em hỏi là em có định nghĩa \mathbb{Z}_N là

nhưng phần ví dụ thì em chưa hiểu rõ lắm

Ở đây ví dụ a = 6 và b = 8 nhưng khúc sau e không rõ.

Mọi người giải đáp giúp em. Em cảm ơn

[hungaya (Hung)]

Lý thuyết modulo thôi bạn.

Cho m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}, khi đó a \equiv b \ (\text{mod } m) khi và chỉ khi a - b \ \vdots \ m.
Thông thường, với a, m cho trước, r = b sẽ là số dư chỉ phép chia a cho m. Hay

a = m.q + r \ , 0 \le r < |m|

thì a \equiv r \ (\text{mod } m).

Ví dụ:

• 14 chia cho 9 dư 5: 14 = 9.1 + 5 nên 14 \equiv 5 \ (\text{mod } 9).
• 48 chia cho 9 dư 3: 48 = 9.5 + 3 nên 48 \equiv 3 \ (\text{mod } 9).

[minh_cuong_le]

Mình chưa hiểu tại sao khúc
a + b = (a + b) \text{ mod } N lại thành 6 + 8 = 14 \equiv 5 \ (\text{mod } 9) .
Theo mình so sánh thì a = 6 và b = 8. Có thể giải đáp cho mình
(a + b) \text{ mod } N tương đương với 14 \equiv 5 \ (\text{mod } 9).

1. Mình không hiểu số 5 đâu ra,
2. Tại sao a + b = (a + b) \text{ mod } N?

[rogp10]

1. a \equiv b \mod N \iff \text{a - b chia hết cho N, hay } a -b \equiv 0 \mod N, gọi là đồng dư thức.
2. Cái này là xét một cấu trúc đại số cụ thể, ta chứng minh nó thỏa mãn một định nghĩa.

[minh_cuong_le]

Cảm ơn mọi người em hiểu rồi.

[hungaya (Hung)]

Chắc mình nói lại về lý thuyết vành (ring theory), vì tài liệu ở trên sơ sài quá.

Định nghĩa 1.1: (Vành)
Cho R là tập khác rỗng, trên R định nghĩa hai phép toán là phép cộng “+: R \times R \to R” và phép nhân “. : R \times R \to R” thỏa mãn các tính chất sau, cho a,b,c \in R:

• Kết hợp của phép cộng: (a + b) + c = a + (b + c),
• Giao hoán của phép cộng: a + b = b + a,
• Tồn tại phần tử không: \exist 0 \in R, a + 0 = a,
• Tồn tại phần tử đối: \exist a' \in R, a + a' = 0,
• Kết hợp của phép nhân: (a.b).c = a.(b.c),
• Phân phối của phép nhân với phép cộng:
  • (a + b).c = a.c + b.c,
  • a.(b + c) = a.b + a.c.

Nếu một vành R tồn tại phần tử đơn vị 1 sao cho 1.r = r.1 = r, \forall r \in R, thì vành R được gọi là vành có đơn vị.
Nếu một vành R thỏa tính chất giao hoán với phép nhân, nghĩa là a.b = b.a, \forall a,b \in R thì vành R được gọi là vành giao hoán.

Ví dụ 1.2:

• Tập hợp các số nguyên \mathbb{Z} là vành giao hoán có đơn vị.
• Tập hợp các số hữu tỉ \mathbb{Q}, các số thực \mathbb{R}, các số phức \mathbb{C} là vành giao hoán có đơn vị, hơn nữa, các tập \mathbb{Q}, \mathbb{R} và \mathbb{C} là các trường.
• Tập hợp \mathbb{Z}[i] = \{ a + ib \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, i \in \mathbb{C} là một vành giao hoán có đơn vị, phần tử không là 0 = 0 + 0i, và phần tử đơn vị là 1 = 1 + 0i.

Định nghĩa 1.3: (Ideal)
Cho R là một vành giao hoán, tập con không rỗng \empty \neq I \subset R là một ideal của R, nếu thỏa hai tính chất sau

• Cho a,b \in I, thì a + b \in I, nghĩa là I đóng dưới phép cộng.
• Cho a \in I và r \in R, thì ar \in R và ra \in R.

Ví dụ 1.4:

• Cho n \in \mathbb{Z}^+, tập n\mathbb{Z} = \{ n.a \mid a \in \mathbb{Z} \} là một ideal của \mathbb{Z}.

Chứng minh 1.4:
Tập n\mathbb{Z} \neq \empty do 0 = n.0 \in n\mathbb{Z}. Cho a, b \in \mathbb{Z}, n.a + n.b = n.(a + b) \in n\mathbb{Z}, do đó n\mathbb{Z} đóng dưới phép cộng. Cuối cùng, cho z\in \mathbb{Z} và n.a \in n\mathbb{Z}, ta thấy z(n.a) = n(za) \in n\mathbb{Z}, và (n.a)z = n(az) \in n\mathbb{Z}. Vậy n\mathbb{Z} là một ideal của \mathbb{Z} .

Bổ đề 1.5:
Cho R là một vành giao hoán, và I là một ideal của R. Xét quan hệ trên R

a \sim b \Leftrightarrow a - b \in I, \forall a, b \in R

Chứng tỏ rằng quan hệ \sim là quan hệ tương đương. Khi đó các tương đương của R có dạng

r + I = \{ r + a \mid a \in I \}

được gọi là lớp kề của I trong R.

Chứng minh 1.5:
Về tính phản xạ, cho a \in I, ta có a - a = 0 \in R, ta có phần tử 0 \in R do cho b \in I, chọn r = 0 thì 0 = b.0 \in I.
Về tính đối xứng, cho a, b \in R thỏa a \sim b, khi đó a - b \in I. Chọn r = -1 thì b - a = (-1)(a-b) \in I, kéo theo b \sim a.
Về tính bắc cầu, cho a,b,c \in R thỏa a \sim b và b \sim c, khi đó a - b \in R và b - c \in R,

a - c = (a - b) + (b - c) \in I+I \subset I

do đó a \sim c. Vậy quan hệ \sim là quan hệ tương đương.

Định nghĩa 1.6: (Vành thương)
Cho R là một vành, và I là một ideal của R. Khi đó R/I được định nghĩa là họ các lớp tương đương r + I, với r \in R. Để R/I trở thành một vành, định nghĩa hai phép toán trên R/I như sau

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I, \\ (a + I) (b + I) = ab + I

với a,b \in R.

Chứng minh 1.6:
Ta chứng minh định nghĩa phép cộng và phép nhân như trên là định nghĩa tốt, không phụ thuộc vào cách chọn a,b. Thật vậy, cho a_1 + I = a_2 + I và b_1 + I = b_2 + I, với a_1,a_2,b_1,b_2 \in R. Ta chứng minh

(a_1 + b_1) + I = (a_2 + b_2) + I, \\ a_1b_1 + I = a_2b_2 + I.

Từ a_1 + I = a_2 + I, suy ra a_1 - a_2 \in I, từ b_1 + I = b_2 + I, suy ra b_1 - b_2 \in I, và

(a_1 + b_1) - (a_2 + b_2) = (a_1 - a_2) + (b_1 - b_2) \in I, \\ a_1b_1 - a_2b_2 = a_1b_1 - a_1b_2 + a_1b_2 - a_2b_2 = a_1(b_1-b_2) + b_2(a_1-a_2) \in I.

Vậy phép cộng và phép nhân định nghĩa tốt.

Ta kiểm tra các tính chất của vành cho R/I, cho a, b, c \in R.
Tính kết hợp của phép cộng

\begin{aligned} ((a + I) + (b + I)) + (c + I) &= ((a+b) + I) + (c + I) = ((a+b) + c) + I \\ &= (a + (b + c)) + I = (a + I) + ((b+c) + I) \\ &= (a + I) + ((b + I) + (c + I)). \end{aligned}

Tính giao hoán của phép cộng

(a + I) + (b + I)= (a + b) + I = (b+a)+I = (b+I) + (a+I).

Tồn tại phần tử không

(a + I) + (0 + I) = (a + 0) + I = a +I.

Tồn tại phần tử đối

(a + I) + ((-a) + I) = (a+(-a)) + I = 0+I.

Kếp hợp của phép nhân

\begin{aligned} ((a+I)(b+I))(c+I) &= (ab+I)(c+I) = (ab)c + I = a(bc) + I \\ &= (a+I)(bc +I) = (a+I)((b+I)(c+I)). \end{aligned}

Phân phối của phép nhân với phép cộng

\begin{aligned} (a+I)((b+I)+(c+I)) &= (a+I)((b+c)+I) = a(b+c) +I = (ab + ac) + I \\ &= (ab + I) + (ac +I) = (a+I)(b+I)+(a+I)(c+I). \end{aligned}

Nhân với phân tử đơn vị 1

(1 + I)(a+I) = (1.a) + I = a + I.

Vậy R/I là một vành.

Ví dụ 1.7:
Trên vành \mathbb{Z}, cho n \in \mathbb{Z}^+, ta có n\mathbb{Z} là một ideal của \mathbb{Z}. Từ đó định nghĩa được vành thương

\mathbb{Z}_n := \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}

được gọi là vành các modulo n của \mathbb{Z}. Các phần tử của \mathbb{Z}_n bao gồm

\mathbb{Z}_n = \{ 0 + n\mathbb{Z}, 1 + n\mathbb{Z}, \ldots, (n-1) + n\mathbb{Z} \}.

Để viết một cách thu gọn, chọn các phần tử đại diện cho từng lớp kề, cụ thể với lớp kề m + n\mathbb{Z} thì ta chọn phần tử m' thỏa mãn 0 \leq m' < n. Khi đó

\mathbb{Z}_n = \{ 0, 1, \ldots, n-1 \}.

Giải thích 1.7:
Cho m + n\mathbb{Z}, ta chọn được m’ sao cho 0 \leq m' < n. Sự tồn tại cách chọn m’ thông qua tính chất được sắp tốt (well-order ứng property) của số tự nhiên \mathbb{N}, cụ thể với m + n\mathbb{Z}, ta xét tập con A = \{ a \in \mathbb{N} \mid a \in (m + n\mathbb{Z}) \}, từ tính sắp tốt của \mathbb{N}, tồn tại phần tử nhỏ nhất của A, gọi là a. Giả sử a \ge n, do a \in A nên a \in (m + n\mathbb{Z}), nghĩa là a - m \in n\mathbb{Z}. Ta thấy (a - n) - m \in n\mathbb{Z} và a - n \ge 0, do đó a - n \in A, mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của a. Vậy 0 \le a < n.