Các số thoả mãn chỉ có 123 và các hoán vị của nó (132, 213, 231, 312, 321), nên cho 6 câu lệnh printf()
cho 6 hoán vị là xong.
Chứng minh:
Gọi số thoả mãn đề bài có dạng là abc (a > 0), với a,b,c là các số nguyên không âm. Theo đề bài:
Nếu 1 trong 2 số b và c bằng 0, không mất tính tổng quát, giả sử b = 0. Điều kiện (1) trở thành: a + c = 0, mà a > 0 nên c < 0, trái điều kiện c là số nguyên không âm.
Do đó a,b,c đều là các số nguyên dương, a > 0, b > 0, c > 0 (2)
Với điều kiện (2) thì vai trò a,b,c là như nhau, với 1 cặp thoả mãn thì các hoán vị của nó cũng thoả mãn. Vì vậy, không mất tính tổng quát, giả sử 0 < a ≤ b ≤ c (3)
Biến đổi từ (1): a(bc - 1) = b + c (4)
Trường hợp 1: a = 1. Khi đó (4) trở thành:
- bc - 1 = b + c
- bc - b - c + 1 = 2
- (b - 1)(c-1) = 2 (5)
(5) có 1 nghiệm duy nhất b - 1 = 1, c - 1 = 2, hay b = 2, c = 3. Một nghiệm thoả mãn (a,b,c) = (1,2,3)
Trường hợp 2: a > 1. Khi đó (4) được biến đổi: (bc - 1 > 0 với mọi c ≥ b ≥ a > 1)
Đặt g(b,c) là hàm 2 biến, với b ∈ [2, 9], c ∈ [2, 9]:
Đạo hàm riêng biến b:
(6)
Đạo hàm riêng biến c:
(7)
Vì hai đạo hàm (6) và (7) đều nhỏ hơn 0, nên g(b,c) nghịch biến trên cả 2 biến b và c.
Suy ra a = g(b,c) ≤ g(2,2) = 4/3 < 2, trái giả thuyết a > 1
Vậy không có cặp (a,b,c) thoả mãn với điều kiện a > 1.